Відповідь:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Пояснення:
Щоб ця проблема мала сенс # 4-9x ^ 2> = 0 #, тому # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Тому ми можемо вибрати a # 0 <= u <= pi # такий, що # x = 2 / 3cosu #. Використовуючи це, ми можемо замінити змінну x на інтегральну # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # тут ми використовуємо це # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # і що для # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Тепер ми використовуємо інтеграцію за частинами, щоб знайти # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Тому # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Так ми і знайшли #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (синус + u + c) #, тепер ми підміняємо # x # назад # u #, використовуючи # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, тому #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Ми можемо ще більше спростити це, використовуючи визначення синусів і косинусів в термінах трикутників. Для правого трикутника з кутом # u # на одному з неправильних кутів, # sinu = "протилежна сторона" / "найдовша сторона" #, поки # cosu = "сусідня сторона" / "найдовша сторона" #, оскільки ми знаємо # cosu = (3x) / 2 #, ми можемо вибрати сусідню сторону, щоб бути # 3x # і найдовшою стороною #2#. Використовуючи теорему Піфагора, ми знаходимо протилежну сторону #sqrt (4-9x ^ 2) #, тому #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Тому #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
