Нехай f - безперервна функція: a) Знайдіть f (4), якщо 0_0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx для всіх x. б) Знайти f (4), якщо 0_0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx для всіх x?

Відповідь:

а) #f (4) = pi / 2 #; б) #f (4) = 0 #

Пояснення:

а) Диференціювати обидві сторони.

Через Другу Фундаментальну Теорему Обчислення на лівій стороні і правилах продукту та ланцюга на правій стороні ми бачимо, що диференціація показує, що:

#f (x ^ 2) * 2x = гріх (pix) + pixcos (pix) #

Здавання в оренду # x = 2 # показує, що

#f (4) * 4 = гріх (2pi) + 2 пікселів (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

б) Інтегруйте внутрішній термін.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Оцінити.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3 xsin (pix) #

Дозволяє # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #