Що таке інтеграл (ln (xe ^ x)) / x?

Відповідь:

# t #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Пояснення:

Нам надано:

# t #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Використання #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Використання #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Використання #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Розбиття дробу (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Розділення підсумкових інтегралів:

# = int # #ln (x) / xdx +

Другий інтеграл просто #x + C #, де # C # - довільна постійна. Перший інтеграл ми використовуємо # u #-заміщення:

Дозволяє #u екв. ln (x) #, отже #du = 1 / x dx #

Використання # u #-заміщення:

# u udu + x + C #

Інтеграція (довільна постійна # C # може поглинати довільну константу першого невизначеного інтеграла:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Підставляючи назад у термінах # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Відповідь:

ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Пояснення:

Ми починаємо з використання наступної ідентичності логарифму:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Застосовуючи це до інтеграла, отримуємо:

#in (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Щоб оцінити залишився інтеграл, ми використовуємо інтеграцію за частинами:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Дозволю #f (x) = ln (x) # і #g '(x) = 1 / x #. Потім можна обчислити, що:

#f '(x) = 1 / x # і #g (x) = ln (x) #

Потім можна застосувати формулу інтеграції за частинами, щоб отримати:

ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Оскільки ми маємо інтеграл з обох сторін знаку рівності, можна вирішити його як рівняння:

Ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Повертаючись до вихідного виразу, ми отримуємо остаточну відповідь:

ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #