Які локальні екстремуми f (x) = sinx на [0,2pi]?

Відповідь:

У # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # ми маємо локальний максимум і ат # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # ми маємо місцеві мінімуми.

Пояснення:

Максимум - це висока точка, до якої функція підвищується, а потім знову падає. Як такий, нахил дотичної або величина похідної в цій точці буде дорівнювати нулю.

Далі, оскільки дотичні ліворуч від максимумів будуть нахилятися вгору, то сплющення, а потім нахил вниз, нахил дотичної буде постійно зменшуватися, тобто значення другої похідної буде негативним.

З іншого боку, мінімуми - це низька точка, до якої функція падає, а потім знову піднімається. У такому випадку дотична або величина похідної в мінімумах теж буде нульовою.

Але, оскільки дотичні ліворуч від мінімумів будуть нахиленими вниз, то сплощення, а потім нахил вгору, нахил дотичної буде постійно збільшуватися або значення другої похідної буде позитивним.

Однак, ці максимуми і мінімуми можуть бути універсальними, тобто максимумами або мінімумами для всього діапазону або можуть бути локалізовані, тобто максимуми або мінімуми в обмеженому діапазоні.

Подивимося це з посиланням на функцію, описану в питанні, і для цього давайте спочатку диференціюємо #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # і далі # 0,2pi # Це є #0# в # x = pi / 2 # і # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # і в той час як у # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # тобто ми маємо локальний максимум, ат # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # тобто ми маємо місцеві мінімуми.

графік {sinx -1, 7, -1.5, 1.5}