Нехай f (x) = (x + 2) / (x + 3). Знайти рівняння (и) дотичної лінії (ліній), які проходять через точку (0,6)? Ескіз рішення?

Відповідь:

Дотичні є # 25x-9y + 54 = 0 # і # y = x + 6 #

Пояснення:

Хай буде нахил дотичної # m #. Рівняння дотичної тоді є # y-6 = mx # або # y = mx + 6 #

Тепер розглянемо точку перетину цієї дотичної і заданої кривої # y = (x + 2) / (x + 3) #. Для цього покласти # y = mx + 6 # в цьому ми отримуємо

# mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # або # (mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

тобто # mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

або # mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

Це має дати два значення # x # дві точки перетину, але дотична відсікає криву тільки в одній точці. Отже, якщо # y = mx + 6 # є дотичною, ми повинні мати тільки один корінь для квадратичного рівняння, яке можливо onli, якщо дискримінант є #0# тобто

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

або # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

або # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

тобто # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

тобто #25/9# або #1#

і, отже, дотичні # y = 25 / 9x + 6 # тобто # 25x-9y + 54 = 0 #

і # y = x + 6 #

граф {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}