Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Відповідь:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Пояснення:

ми прагнемо:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Коли ми оцінюємо межу, розглянемо поведінку функції "поблизу" точки, не обов'язково поведінку функції "у" розглянутої точки, таким чином, як #x rarr 0 #, Ні в якому разі ми не повинні розглядати, що відбувається в # x = 0 #, Таким чином, ми отримуємо тривіальний результат:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# lim_ (x rarr 0) t

# = 1 #

Для наочності графік функції для візуалізації поведінки навколо # x = 0 #

граф {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Слід чітко пояснити, що функція # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # не визначено в # x = 0 #

Відповідь:

Дивіться нижче.

Пояснення:

Визначення ліміту функції, яку я використовую, еквівалентні:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # якщо і тільки для кожного позитивного # epsilon #, є позитивний # delta # така, що за кожну # x #, якщо # 0 <abs (x-a) <дельта # потім #abs (f (x) - L) <epsilon #

Через значення "#abs (f (x) - L) <epsilon #", для цього потрібно це для всіх # x # с # 0 <abs (x-a) <дельта #, #f (x) # визначається.

Тобто, для необхідного # delta #, всі з # (a-delta, a + delta) # окрім можливо # a #, лежить в області # f #.

Все це отримує нас:

#lim_ (xrarra) f (x) # існує лише якщо # f # визначається в деякому відкритому інтервалі, що містить # a #, крім, можливо, на # a #.

(# f # повинні бути визначені в деяких видалених відкритих околицях # a #)

Тому, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # не існує.

Майже тривіальний приклад

#f (x) = 1 # для # x # ірраціональне реальне (невизначене для раціональності)

#lim_ (xrarr0) f (x) # не існує.