Які локальні максимуми і мінімуми f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Відповідь:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ця функція має вертикальну асимптоту на # x = 2 #, підходи #1# зверху, коли x переходить # + oo # (горизонтальна асимптота) і підходи #1# знизу, коли x переходить # -оо #. Всі похідні не визначені на # x = 2 # так само. Є один локальний мінімум на # x = 0 #, # y = 0 # (Все, що неприємності для походження!)

Зверніть увагу, ви можете перевірити мою математику, навіть найкращі з нас відмовляються від непарного знаку і це довге питання.

Пояснення:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ця функція має вертикальну асимптоту на # x = 2 #, оскільки знаменник дорівнює нулю, коли # x = 2 #.

Він підходить #1# зверху, коли x переходить # + oo # (горизонтальна асимптота) і підходи #1# знизу, коли x переходить # -оо #, тому що для великих значень # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # с # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # для #x> 0 # і # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # для #x <0 #.

Щоб знайти max / min, потрібні перша і друга похідні.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Використовуйте правило частки!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Використовуючи правило для повноважень і ланцюгове правило отримуємо:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4.

Тепер ми трохи оформили …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Тепер друга похідна, виконана як перша.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Це потворно, але нам потрібно лише підключити і відзначити, де вона погано поводилася.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ця функція не визначена в # x = 2 #, що асимптота, але виглядає прекрасно скрізь.

Ми хочемо знати, що максимум / хв …

ми ставимо # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # це нуль, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник - ні.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # або # 4x (2-x) = 0 # Це нуль на # x = 0 # і # x = 2 #, але ми не можемо мати max / min, де похідна / функція не визначена, тому єдина можливість # x = 0 #.

"другий похідний тест"

Тепер ми дивимося на другу похідну, потворну, як вона є …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Подібно до функції і першої похідної, це не визначено на # x = 2 #, але виглядає чудово всюди.

Підключаємо # x = 0 # в # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, не нуль такий чудовий номер, щоб підключити його?

#=128/256# все це для #1/2#

#1/2 >0# тому # x = 0 # є місцевим мінімумом.

Щоб знайти значення у, нам потрібно підключити його до функції.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Походження!