Знайти максимуми і мінімуми f (x) = 5sinx + 5cosx на інтервалі [0,2pi]?

Відповідь:

Є

• локальний максимум на # (pi / 2, 5) # і
• місцевий мінімум на # ((3pi) / 2, -5) #

Пояснення:

#color (darkblue) (гріх (pi / 4)) = колір (darkblue) (cos (pi / 4)) = колір (darkblue) (1) #

#f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (білий) (f (x)) = 5 (колір (темно-блакитний) (1) * sinx + color (темно-синій) (1) * cosx) #

# color (white) (f (x)) = 5 (колір (темно-блакитний) (cos (pi / 4)) * sinx + колір (darkblue) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Застосуйте ідентифікацію складеного кута для функції синуса

#sin (альфа + бета) = sin alpha * cos beta + cos alpha * sin beta #

#color (чорний) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Дозволяє # x # бути # x- #координати локальних екстремумів цієї функції.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f '(x) = 0 #

# pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # де # k # ціле число.

# x = -pi / 2 + k * pi #

#x in {pi / 2, (3pi) / 2} #

• #f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

  отже, локальний максимум у # (pi / 2, 5) #

• #f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

  отже є місцевий мінімум у # (pi / 2, -5) #