Питання # f3eb0

Відповідь:

#c = 2/3 #

Пояснення:

Для #f (x) # бути безперервним на #x = 2 #, має бути наступне:

• #lim_ (x-> 2) f (x) # існує.
• #f (2) # існує (з тих пір це не є проблемою #f (x) # чітко визначено на #x = 2 #

Дослідимо перший постулат. Ми знаємо, що для обмеження існує, ліві та праві межі повинні бути однаковими. Математично:

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) #

Це також показує, чому нас цікавить лише #x = 2 #: Це єдина цінність # x # для яких ця функція визначається як різні речі праворуч і ліворуч, що означає, що існує ймовірність, що ліві і праві межі не можуть бути рівними.

Ми будемо намагатися знайти значення 'c', для яких ці межі рівні.

Повертаючись до кускової функції, ми бачимо, що ліворуч від #2#, #f (x) = cx ^ 2 + 2x #. Альтернативно, праворуч від #x = 2 #, ми бачимо це #f (x) = x ^ 3-cx #

Тому:

#lim_ (x-> 2) cx ^ 2 + 2x = lim_ (x-> 2) x ^ 3 - cx #

Оцінка лімітів:

# (2) ^ 2c + 2 (2) = (2) ^ 3 - (2) c #

# => 4c + 4 = 8 - 2c #

Звідси, це просто питання для вирішення # c #:

# 6c = 4 #

#c = 2/3 #

Що ми знайшли? Ну, ми зрозуміли цінність # c # це зробить цю функцію неперервною всюди. Будь-яке інше значення # c # і ліві та праві межі не будуть дорівнювати один одному, і функція не буде постійною всюди.

Щоб отримати візуальне уявлення про те, як це працює, перевірте цей інтерактивний графік, який я зробив. Вибираємо різні значення # c #, і подивитися, як функція перестає бути безперервною на #x = 2 #!

Сподіваюся, що допомогла:)