Нехай f: Rise визначено з R до R. знайти рішення f (x) = f ^ -1 (x)?

Відповідь:

# f (x) = x #

Пояснення:

Ми шукаємо функції #f: RR rarr RR # таке рішення #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Тобто ми шукаємо функцію, яка є його власною оберненою. Однією з очевидних таких функцій є тривіальне рішення:

# f (x) = x #

Тим не менш, більш ретельний аналіз проблеми має значну складність, як досліджено Ng Wee Leng і Ho Foo Him, як опубліковано в журналі Асоціації викладачів математики.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Відповідь:

Перевірте нижче.

Пояснення:

Спільні точки між ними # C_f # і #C_ (f ^ (- 1)) # якщо вони існують, вони не завжди знаходяться в бісектрисі # y = x #. Ось приклад такої функції: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (білий) (a) #, # x ## у ## 0, + oo) #

графік {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Проте вони є тільки в бісектрисі і тільки якщо # f # є # # зростає.

Якщо # f # тоді суворо зростає #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Якщо # f # не строго збільшуючи загальні моменти, знаходять вирішення системи рівнянь

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Відповідь:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Пояснення:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (білий) (aa) #, # x ## у ## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (білий) (aa) #, # AA ## x ## у ## RR #

тому # f # є # # в # RR #. Як строго монотонна функція також#1-1#"і як один до однієї функції має інверсію.

Нам потрібно вирішити рівняння #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #