Відповідь:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
Пояснення:
Оскільки знаменник вже зафіксований, для констант вирішується все, що потрібно для виконання часткових дробів:
# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #
Зауважте, що нам потрібні обидва # x # і постійний член на лівій більшій фракції, оскільки чисельник завжди на 1 ступінь нижче знаменника.
Ми могли б розмножуватися знаменником лівої сторони, але це було б величезний обсяг роботи, тому ми можемо бути розумними і використовувати метод прикриття.
Я не буду детально обговорювати процес, але, по суті, ми зрозуміли, що робить знаменник рівним нулю (у випадку # C # Це є # x = 3 #), і приєднавши його до лівої сторони і оцінюючи при цьому, прикриваючи фактор, що відповідає константі, це дає:
# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (текст (////)) (3-7)) = - 6/11 #
Ми можемо зробити те ж саме для # D #:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (текст (////))) = 35/51 #
Метод прикриття працює тільки для лінійних факторів, тому ми змушені вирішувати для # A # і # B # використовуючи традиційний метод і множивши за допомогою знаменника лівої сторони:
# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #
Якщо ми помножимо через всі дужки і прирівняємо всі коефіцієнти різних # x # і постійними членами, ми можемо з'ясувати значення # A # і # B #. Це досить тривалий розрахунок, тому я просто залишу посиланням для тих, хто цікавиться:
натисніть тут
# A = -79 / 561 #
# B = -94 / 561 #
Це дає, що наш інтеграл:
#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2))
Перші два можуть бути вирішені з використанням досить простих u-підстановок знаменників:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #
Ми можемо розділити залишився інтеграл на два:
#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2)
Я називаю лівий інтеграл 1 і правий інтеграл 2.
Інтеграл 1
Цей інтеграл можна вирішити шляхом u-заміщення # u = x ^ 2 + 2 #. Похідна є # 2x #, тому ми ділимося на # 2x # інтегруватися до # u #:
X / (x ^ 2 + 2) dx = 79int (x) / (2порядок (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #
Інтеграл 2
Ми хочемо отримати цей інтеграл у форму для # tan ^ -1 #:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
Якщо ввести заміну з # x = sqrt2u #, ми зможемо перетворити наш інтеграл у цю форму. Для інтеграції по відношенню до # u #, ми повинні помножити на # sqrt2 # (оскільки ми взяли похідну по відношенню до # u # замість # x #):
# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
Заповнення оригінального інтеграла
Тепер, коли ми знаємо, що Integral 1 і Integral 2 дорівнює, ми можемо заповнити оригінальний інтеграл, щоб отримати остаточну відповідь:
# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #
