Диференціювати з першого принципу x ^ 2sin (x)?

Відповідь:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # від визначення похідної і прийняття деяких меж.

Пояснення:

Дозволяє #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Потім

# (df) / dx = lim_ {h 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h з 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h з 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

тригонометричною ідентичністю і деякими спрощеннями. На цих чотирьох останніх рядках ми маємо чотири терміни.

Перший термін дорівнює 0, оскільки

#lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (ліміт (h) 0 (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, які можна побачити, наприклад, від розширення Тейлора або правила L'Hospital.

The Четвертий термін також зникає, тому що

#lim_ {h 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

# = lim_ {h 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Тепер другий термін спрощується

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (ліміт (від 0) (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, з

#lim_ {h 0} (sin (h)) / h = 1 #, як показано тут, або напр. Правило Лікарні (див. Нижче).

The третій термін спрощується

# lim_ {h 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) / h #

# = lim_ {h 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

які після додавання до другого терміну дає це

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Примітка: За правилом L'Hospital, оскільки # lim_ {h 0} sin (h) = 0 # і # lim_ {h t і обидві функції диференціюються навколо # h = 0 #, ми маємо що

# lim_ {h 0} sin (h) / h = lim_ {h 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h 0} cos (h) = 1 #.

Межа # lim_ {h 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # можуть бути показані аналогічно.