Почнемо з функції без # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Ця функція, безумовно, має # x = 0 # як корінь, оскільки ми враховували # x #.
Інші коріння є розчинами # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, але ця парабола не має коріння. Це означає, що вихідний поліном має лише один корінь.
Тепер поліном #p (x) # непарної ступеня завжди має принаймні одне рішення, тому що у вас є
#lim_ {x- - інтелектуальний} p (x) = - t і #lim_ {x t
і #p (x) # є безперервним, тому він повинен перетинати # x # осі в якийсь момент.
Відповідь виходить з наступних двох результатів:
- Поліном ступеня # n # має точно # n # складні корені, але максимум # n # реальні корені
- З огляду на графік #f (x) #, графік #f (x) + k # має ту саму форму, але переведена вертикально (якщо #k> 0 #інакше).
Отже, ми починаємо з # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, яка має тільки один реальний корінь (і, отже, два складних кореня) і ми перетворюємо його в # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, що означає, що ми переводимо його вгору або вниз, тому ми не змінюємо кількість рішень.
Приклади:
Оригінальна функція: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x
графік {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Перекласти вгору: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
графік {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Перекласти вниз: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
графік {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Як бачите, завжди є один корінь
Відповідь:
Дивись нижче
Пояснення:
Альтернативне, можливо, більш елегантне рішення:
похідним вашого полінома є # 3x ^ 2-4x + 2 #, що є параболою, увігнутою без коріння, і тому завжди позитивна. Тому, # f # є:
- Монотонно зростає
- #lim_ {x назавжди} f (x) = pm t
- # "deg" (f) = 3 #
Перші два пункти свідчать про це # f # має рівно один корінь, а третій, що два інших коріння є складними.
