Які локальні екстремуми f (x) = xlnx-xe ^ x?

Відповідь:

Ця функція не має локальних екстремумів.

Пояснення:

#f (x) = xlnx-xe ^ x має на увазі #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Для # x # бути місцевим екстремумом, #g (x) # має бути нульовим. Тепер ми покажемо, що це не відбувається для будь-якої реальної вартості # x #.

Зверніть увагу на це

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Таким чином #g ^ '(x) # зникне, якщо

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Це трансцендентне рівняння, яке можна вирішити чисельно. З #g ^ '(0) = + oo # і #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, корінь лежить між 0 і 1. І так #g ^ {''} (0) <0 # для всіх позитивні # x #, це єдиний корінь і відповідає максимуму для #g (x) #

Легко вирішити рівняння чисельно, і це показує, що #g (x) # має максимум в # x = 0.3152 # і максимальне значення #g (0.3152) = -1.957 #. Так максимальне значення #g (x) # є негативним, немає значення # x # при якій #g (x) # зникає.

Може бути корисним дивитися на це графічно:

graph {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Як видно з наведеного вище графіка, функція #f (x) # фактично має максимум на # x = 0 # - але це не локальний максимум. На графіку нижче показано це #g (x) equiv f ^ '(x) # ніколи не приймає значення нуль.

графік {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}