Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Відповідь:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) приблизно 0,541 #

Пояснення:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Застосування правила продукту

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Для місцевих максимумів або мінімумів: #f '(x) = 0 #

Дозволяє # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 або z = -2 #

Отже, для місцевого максимуму або мінімуму:

#lnx = 0 або lnx = -2 #

x: 1 або x = e ^ -2 приблизно 0,135 #

Тепер розглянемо графік #x (lnx) ^ 2 # нижче.

графік {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Можна спостерігати, що це спрощено #f (x) # має місцевий мінімум на # x = 1 # і локальний максимум на #x in (0, 0,25) #

Звідси: #f_min = f (1) = 0 # і #f_max = f (e ^ (- 2)) приблизно 0,541 #