Інтеграл 1 / sqrt (tanx) dx =?

Відповідь:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx)) +1) | + C #

Пояснення:

Почнемо з u-заміщення # u = sqrt (tanx) #

Похідна Росії # u # є:

# (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

тому ми ділимося на те, щоб інтегруватися по відношенню до # u # (і пам'ятайте, що поділ на частку те саме, що і множення на його взаємне):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sec ^ 2 x du = #

# = int 2 / sec ^ 2x

Оскільки ми не можемо інтегруватися # x #По відношенню до # u #, ми використовуємо наступну ідентифікацію:

# sec ^ 2theta = загар ^ 2тета + 1 #

Це дає:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

Цей інший інтеграл використовує досить стомлюючу часткову декомпозицію фракцій, тому я не буду робити це тут. Погляньте на цю відповідь, якщо ви зацікавлені в її розробці:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1)) + C #

Повторне встановлення # u = sqrt (tanx) #, ми отримуємо:

# 1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx)) +1) | + C #

Відповідь:

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

Пояснення:

# I = int1 / sqrt (tanx) dx #

Дозволяє, #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => sec ^ 2xdx = 2тдт #

# => (1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1+ (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = int1 / cancelt * (2 * cancelt * dt) / (1 + t ^ 4) = int2 / (1 + t ^ 4) dt #

# = int (t ^ 2 + 1) / (1 + t ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + t ^ 4) dt = int (1 + 1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / t ^ 2) dt #

# = int (1 + 1 / t ^ 2) / ((t-1 / t) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / t ^ 2) / ((t + 1 / t) ^ 2- 2) dt #

Брати,# (t-1 / t) = uand (t + 1 / t) = v ## => (1 + 1 / t ^ 2) dt = duand (1-1 / t ^ 2) dt = dv ## => I = int1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-int1 / (v ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) dv = 1 / sqrt (2) tan ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (v-sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t-1) / t) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t + 1 / t) -sqrt2) / ((t + 1 / t) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln | ((t ^ 2 + 1-sqrt (2) t)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2) t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln | (tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #