Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Відповідь:

#(0.14414, 0.05271)# локальний максимум

#(1.45035, 0.00119)# і #(-1.59449, -1947.21451)# є місцевими мінімумами.

Пояснення:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1)) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - оо,:. x = oo #

Це не можна вважати локальним екстремумом.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Щоб вирішити для коренів цієї кубічної функції, використовуємо метод Ньютона-Рафсона:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Це ітераційний процес, який приведе нас ближче і ближче до кореня функції. Я не включаю тут тривалий процес, але, досягнувши першого кореня, ми можемо виконати довге поділ і вирішити залишилися квадратичні легко для інших двох коренів.

Ми отримаємо такі корені:

# x = 0,14414, 1,45035 і -1,59449 #

Тепер ми виконуємо перший похідний тест і спробуємо значення зліва і справа від кожного кореня, щоб побачити, де похідна є позитивною або негативною.

Це покаже нам, яка точка є максимальною і яка мінімальна.

Результат буде таким:

#(0.14414, 0.05271)# локальний максимум

#(1.45035, 0.00119)# і #(-1.59449, -1947.21451)# є місцевими мінімумами.

Ви можете побачити один із мінімумів на графіку нижче:

Наступний перегляд показує максимальний та інший мінімум:

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x має локальний мінімум для x = 1 і локальний максимум для x = 3 Ми маємо: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x Функція визначена у всьому RR як x ^ 2 + 3> 0 AA x Ми можемо ідентифікувати критичні точки, знаходячи, де перша похідна дорівнює нулю: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1, так що критичні точки: x_1 = 1 і x_2 = 3 Оскільки знаменник завжди позитивний, знак f '(x) є протилежним знаку Чисельник (x ^ 2-4x + 3) Тепер відомо, що поліном другого порядку з позитивним провідним коефіцієнт

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Локальний максимум 80 (при x = -1) і локальний мінімум -80 (при x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Критичні числа: -1, 0 і 1 Знак f 'змінюється від + до - при передачі x = -1, так f (-1) = 80 - локальний максимум (Оскільки f непарний, можна негайно зробити висновок, що f (1) = - 80 є відносним мінімумом, а f (0) не є локальним екстремумом). так що f (0) не є локальним екстремумом, а знак f 'змінюється від - до +, коли ми проходимо х = 1, тому f (1) = -80 є локальним мінімумом.

Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Локальний максимум 13 на 1 і локальний мінімум 0 на 0. Домен f є RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 при x = -1 і f' (x) не існує при x = 0. Обидва -1 і 9 знаходяться в області f, тому вони обидва критичні числа. Перший похідний тест: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (наприклад, при x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (наприклад, у x = -1 / 2 ^ 15) Тому f (-1) = 13 - локальний максимум. На (0, oo), f '(x)> 0 (використовуйте будь-який великий позитивний х) Так f (0) = 0 - локальний мінімум.