Обчислити sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Відповідь:

Телескопічна серія 1

Пояснення:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2)) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2)) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

Це колапсуюча (телескопічна) серія.

Його перший термін

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Це еквівалентно

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + сума_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Покажіть, що 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), для n> 1?

Нижче Для того, щоб показати, що нерівність є істинною, ви використовуєте математичну індукцію 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) для n> 1 Крок 1: Доведіть правильно для n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Так як 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, то LHS> RHS. Отже, це справедливо для n = 2 Крок 2: Припустимо, істинно для n = k де k - ціле число, k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Крок 3: Коли n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1), тобто 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RHS = sqrt2

Довжина сторони гострого трикутника - sqrtn, sqrt (n + 1) і sqrt (n + 2). Як знайти n?

Якщо трикутник є правильним трикутником, то квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів менших сторін. Але трикутник гострий кутовий. Отже, квадрат найбільшої сторони менше суми квадратів менших сторін. Отже (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1