Покажіть, що 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), для n> 1?

Відповідь:

Нижче

Пояснення:

Щоб показати, що нерівність вірна, ви використовуєте математичну індукцію

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # для #n> 1 #

Крок 1: Довести правдивість для # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

З # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, потім #LHS> RHS #. Тому це справедливо і для # n = 2 #

Крок 2 # n = k # де k - ціле число і #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Крок 3: Коли # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

тобто # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # з (1) за припущенням

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

З #k> 1 #, потім # -1 / sqrt (k + 1) <0 # і з тих пір # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, потім # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # тому # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Крок 4: Доведенням математичної індукції це нерівність справедливо для всіх цілих чисел # n # більш чим #1#

Зазначене нерівність є помилковим.

Наприклад, для #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (приблизно 2,3) скасувати (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (приблизно 2,8) #

Протиріччя.