Будь ласка, допоможіть вирішити це, я не можу придумати рішення. Питання полягає в тому, щоб знайти f? З урахуванням f: (0, + oo) -> RR з f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x в (0, + oo)

Відповідь:

#f (x) = lnx + 1 #

Пояснення:

Розбиваємо нерівність на 2 частини:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Давайте розглянемо (1):

Переставляємо, щоб отримати #f (x)> = lnx + 1 #

Давайте розглянемо (2):

Ми припускаємо # y = x / e # і # x = ye #. Ми все ще задовольняємо умову #y in (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # тому #f (y) = f (x) #.

З 2 результатів, #f (x) = lnx + 1 #

Відповідь:

Припустимо форму, а потім скористайтеся межами.

Пояснення:

Виходячи з того, що ми бачимо, що f (x) обмежує ln (x), можна вважати, що функція є формою ln (x). Припустимо загальний вигляд:

#f (x) = Aln (x) + b #

Підключаючи умови, це означає

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Ми можемо відняти #Aln (x) + b # від всього рівняння знайти

# - A (1-A) ln x - b le - 1 #

Перегортання,

# 1 le (A-1) lnx + b a A #

Якщо ми хочемо, щоб це було вірно для всіх x, то ми бачимо, що верхня межа є постійною і #ln (x) # необмежений, цей термін явно повинен бути 0. Отже, A = 1, залишивши нас

# 1 le b le 1 означає b = 1 #

Таким чином, у нас є тільки рішення з #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #