Як знайти похідну tan (x - y) = x?

Відповідь:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Пояснення:

Я припускаю, що ви хочете знайти # (dy) / (dx) #. Для цього спочатку нам потрібен вираз для # y # з точки зору # x #. Зазначимо, що ця проблема має різні рішення, оскільки #tan (x) # є періодичними функціями, #tan (x-y) = x # буде мати кілька рішень. Однак, оскільки ми знаємо період дотичної функції (# pi #), ми можемо зробити наступне: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, де #tan ^ (- 1) # є зворотною функцією дотичних значень між ними # -pi / 2 # і # pi / 2 # і фактор # npi # додано для обліку періодичності дотичної.

Це дає нам # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #отже # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, відзначимо, що фактор # npi # зник. Тепер нам потрібно знайти # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Це досить складно, але виконано за допомогою теореми зворотної функції.

Налаштування # u = tan ^ (- 1) x #, ми маємо # x = tanu = sinu / cosu #, тому # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, використовуючи правило частки і деякі тригонометричні ідентичності. Використовуючи теорему зворотної функції (що стверджує, що якщо # (dx) / (du) # є безперервним і ненульовим, у нас є # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), ми маємо # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Тепер нам потрібно висловити # cos ^ 2u # в термінах х.

Для цього використовується деяка тригонометрія. Дається правий трикутник зі сторонами # a, b, c # де # c # є гіпотенуза і # a, b # підключені до прямого кута. Якщо # u # - кут, де сторона # c # перетинає сторону # a #, ми маємо # x = tanu = b / a #. З символами # a, b, c # У рівняннях позначимо довжину цих ребер. # cosu = a / c # і використовуючи теорему Піфагора, ми знаходимо # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Це дає # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, тому # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

З # u = tan ^ (- 1) x #, ми можемо замінити це на наше рівняння для # (dy) / (dx) # і знайти # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.