Що таке інтеграл від e ^ (x ^ 3)?

Ви не можете виразити цей інтеграл в термінах елементарних функцій.

Залежно від того, для чого потрібна інтеграція, ви можете вибрати спосіб інтеграції або інший.

Інтеграція через силові ряди

Нагадаємо, що # e ^ x # є аналітичним #mathbb {R} #, тому #forall x у mathbb {R} # виконується наступне рівність

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

і це означає, що

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Тепер ви можете інтегрувати:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (сума_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Інтеграція через неповну гамма-функцію

По-перше, замінити # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Функція # e ^ {x ^ 3} # є безперервним. Це означає, що її примітивні функції є #F: mathbb {R} для mathbb {R} # такий, що

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

і це добре визначено через функцію #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # таке, що для #t to 0 # вона тримається #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, так що неправильний інтеграл # int_0 ^ s f (t) dt # є кінцевим (я називаю # s = -y ^ 3 #).

Так у вас є

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Зауважте це #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Це означає, що для #t to + infty # ми отримуємо це #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, так що # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Отже, наступний невідповідний інтеграл #f (t) # кінцевий:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Ми можемо написати:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

це

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Врешті-решт ми отримуємо

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Гамма (1/3, t) = C + 1/3 Гамма (1/3, -x ^ 3) #