Знайти значення x, для яких наступні серії сходяться?

Відповідь:

#1<>

Пояснення:

При спробі визначити радіус та / або інтервал збіжності таких силових рядів, найкраще використовувати тест Ratio Test, який говорить нам про серію # suma_n #Ми пускаємо

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Якщо #L <1 # серія абсолютно конвергентна (і, отже, конвергентна)

Якщо #L> 1 #, серія розходиться.

Якщо # L = 1, # Тест на коефіцієнт не є вичерпним.

Для Power Series, однак, можливі три випадки

a. Силові ряди збігаються для всіх дійсних чисел; його інтервал конвергенції # (- oo, oo) #

b. Силовий ряд збігається для деякого числа # x = a; # його радіус збіжності дорівнює нулю.

c. Найбільш частий випадок, силовий ряд збігається на # | x-a |<> з інтервалом збіжності # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Отже, якщо # | 2x-3 | <1 #, серія збігається. Але нам це потрібно у формі # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # призводить до конвергенції. Радіус збіжності є # R = 1 / 2. #

Тепер визначимо інтервал:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Ми повинні підключити # x = 1, x = 2 # у вихідний ряд, щоб побачити, чи маємо ми збіжність або дивергенцію в цих кінцевих точках.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # розходяться, слагання не має меж і, звичайно, не йде до нуля, це просто чергує знаки.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # розходиться також тестом Divergence, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Тому ряд збігається на #1<>

Ми можемо використовувати тест співвідношення, який говорить, що якщо у нас є ряд

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

це безумовно сходяться, якщо:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

У нашому випадку, # a_n = (2x-3) ^ n #, тому ми перевіряємо ліміт:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) скасування ((2x-3)) ^ n)) / cancel ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Отже, потрібно перевірити, коли # | 2x-3 | # менше #1#:

Я зробив тут помилку, але вищеназвана відповідь має той самий метод і правильну відповідь, тому просто подивіться на це.