Розливання нафти з розривного танкера поширюється по колу на поверхні океану. Площа розливу збільшується зі швидкістю 9π м² / хв. Наскільки швидко радіус розливу збільшується, коли радіус 10 м?

Відповідь:

#dr | _ (r = 10) = 0,45 м / хв.

Пояснення:

Оскільки площа кола є # A = pi r ^ 2 #, ми можемо взяти диференціал на кожній стороні, щоб отримати:

# dA = 2pirdr #

Отже, радіус змінюється зі швидкістю # dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) #

Таким чином, #dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 м // min #.

Радіус сферичного балона збільшується зі швидкістю 2 сантиметри в хвилину. Наскільки швидко змінюється гучність, коли радіус становить 14 сантиметрів?

1568 * pi cc / хв. Якщо радіус r, то швидкість зміни r відносно часу t, d / dt (r) = 2 см / хв. Обсяг як функція радіуса r для сферичного об'єкта дорівнює V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Потрібно знайти d / dt (V) при r = 14cm Тепер, d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Але d / dt (r) = 2 см / хв. Таким чином, d / dt (V) при r = 14 см: 4pi * 14 ^ 2 * 2 куб. См / хвилину = 1568 * pi cc / хв.

Обсяг куба збільшується зі швидкістю 20 кубічних сантиметрів за секунду. Наскільки швидко, в квадратних сантиметрах в секунду, площа поверхні куба збільшується в момент, коли кожен край куба має 10 сантиметрів?

Вважаємо, що край куба змінюється з часом, так що це функція часу l (t); тому:

Вода, що витікає на підлогу, утворює круговий басейн. Радіус басейну збільшується зі швидкістю 4 см / хв. Як швидко збільшується площа басейну, коли радіус становить 5 см?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" По-перше, ми повинні почати з рівняння, яке ми знаємо, що стосуються площі кола, басейну і його радіусу: A = pir ^ 2 Однак, ми хочемо побачити, як швидко область басейн зростає, що дуже схоже на швидкість, яка дуже нагадує похідну. Якщо взяти похідну від A = pir ^ 2 відносно часу, t, то видно, що: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Не забувайте, що правило ланцюга застосовується праворуч боку, з r ^ 2 - це схоже на неявну диференціацію.) Отже, ми хочемо визначити (dA) / dt. Питання сказало нам, що (dr) / dt = 4, коли він сказав "радіус басейну зростає зі швидкістю 4 см / хв"