Вода, що витікає на підлогу, утворює круговий басейн. Радіус басейну збільшується зі швидкістю 4 см / хв. Як швидко збільшується площа басейну, коли радіус становить 5 см?

Відповідь:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Пояснення:

По-перше, ми повинні почати з рівняння, яке ми знаємо, що стосуються площі кола, басейну і його радіусу:

# A = pir ^ 2 #

Проте, ми хочемо побачити, як швидко зростає площа басейну, що дуже схоже на швидкість, яка дуже нагадує похідну.

Якщо взяти похідну від # A = pir ^ 2 # щодо часу, # t #, ми бачимо, що:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Не забувайте, що правило ланцюга застосовується з правого боку, з # r ^ 2 #--це схоже на неявну диференціацію.)

Отже, ми хочемо визначити # (dA) / dt #. Це питання нам сказало # (dr) / dt = 4 # коли він сказав "радіус басейну збільшується зі швидкістю." #4# см / хв », і ми також знаємо, що хочемо знайти # (dA) / dt # коли # r = 5 #. Підключаючи ці значення в, ми бачимо, що:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Щоб висловити це словами, ми говоримо, що:

Площа басейну зростає зі швидкістю # bb40pi # см# "" ^ bb2 #/ хв при радіусі кола # bb5 # см.

Сім'я Гуд побудувала у своєму дворі прямокутний басейн. Поверх басейну має площу 485 5/8 квадратних метрів. Якщо ширина басейну становить 18 1/2 футів, яка довжина басейну?

Довжина басейну становить 26 1/4 фут. Площа прямокутника довжини (x) і ширини (y) A = x * y; A = 485 5/8 = 3885/8 sq.ft, y = 18 1/2 = 37/2 ft:. x = A / y або x = (3885/8) - :( 37/2) або x = 3885/8 * 2/37 або x = 105/4 = 26 1/4 футів. Довжина басейну 26 / 4 ft.

Вода витікає з перевернутої конічної ємності зі швидкістю 10 000 см3 / хв. Вода одночасно перекачується в резервуар з постійною швидкістю. Якщо резервуар має висоту 6 м, а діаметр вгорі 4 м, якщо рівень води підвищується зі швидкістю 20 см / хв, коли висота води дорівнює 2 м, як ви знаходите швидкість, з якою вода закачується в бак?

Нехай V - об'єм води в резервуарі, см ^ 3; h - глибина / висота води, см; і нехай r - радіус поверхні води (зверху), см. Оскільки танк є перевернутим конусом, так і маса води. Оскільки танк має висоту 6 м і радіус у верхній частині 2 м, подібні трикутники означають, що frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, так що h = 3r. Об'єм перевернутого конуса води - це V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Тепер диференціюйте обидві сторони відносно часу t (у хвилинах), щоб отримати frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (Правило ланцюга використовується в цьому крок). Якщо V_ {i} - об'єм води, яка була закачан

Розливання нафти з розривного танкера поширюється по колу на поверхні океану. Площа розливу збільшується зі швидкістю 9π м² / хв. Наскільки швидко радіус розливу збільшується, коли радіус 10 м?

Dr | _ (r = 10) = 0.45м // min. Оскільки площа кола є A = pi r ^ 2, ми можемо взяти диференціал на кожній стороні, щоб отримати: dA = 2підр Отже, радіус змінюється зі швидкістю dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Отже, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45м // min.