Радіус сферичного балона збільшується зі швидкістю 2 сантиметри в хвилину. Наскільки швидко змінюється гучність, коли радіус становить 14 сантиметрів?

Відповідь:

# 1568 * пі # куб.см / хв

Пояснення:

Якщо радіус r, то швидкість зміни r відносно часу t, # d / dt (r) = 2 # см / хв

Об'єм як функція радіуса r для сферичного об'єкта

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Ми повинні знайти # d / dt (V) # при r = 14см

Тепер, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) #

Але # d / dt (r) # = 2см / хв. Таким чином, # d / dt (V) # при r = 14 см:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # см / хв # = 1568 * пі # куб.см / хв

Обсяг куба збільшується зі швидкістю 20 кубічних сантиметрів за секунду. Наскільки швидко, в квадратних сантиметрах в секунду, площа поверхні куба збільшується в момент, коли кожен край куба має 10 сантиметрів?

Вважаємо, що край куба змінюється з часом, так що це функція часу l (t); тому:

Вода, що витікає на підлогу, утворює круговий басейн. Радіус басейну збільшується зі швидкістю 4 см / хв. Як швидко збільшується площа басейну, коли радіус становить 5 см?

40pi "cm" ^ 2 "/ min" По-перше, ми повинні почати з рівняння, яке ми знаємо, що стосуються площі кола, басейну і його радіусу: A = pir ^ 2 Однак, ми хочемо побачити, як швидко область басейн зростає, що дуже схоже на швидкість, яка дуже нагадує похідну. Якщо взяти похідну від A = pir ^ 2 відносно часу, t, то видно, що: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Не забувайте, що правило ланцюга застосовується праворуч боку, з r ^ 2 - це схоже на неявну диференціацію.) Отже, ми хочемо визначити (dA) / dt. Питання сказало нам, що (dr) / dt = 4, коли він сказав "радіус басейну зростає зі швидкістю 4 см / хв"

Розливання нафти з розривного танкера поширюється по колу на поверхні океану. Площа розливу збільшується зі швидкістю 9π м² / хв. Наскільки швидко радіус розливу збільшується, коли радіус 10 м?

Dr | _ (r = 10) = 0.45м // min. Оскільки площа кола є A = pi r ^ 2, ми можемо взяти диференціал на кожній стороні, щоб отримати: dA = 2підр Отже, радіус змінюється зі швидкістю dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Отже, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45м // min.