Функція 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 є максимумами, мінімумами або точкою перегину?

Відповідь:

• Немає хвилин або максимумів
• Точка перегину в #x = -2 / 3 #.

графік {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Пояснення:

Мін і Макс

Для даного # x #-значення (назвемо його # c #) для макс. або хв. для даної функції, він повинен задовольняти наступне:

#f '(c) = 0 # або undefined.

Ці значення # c # також називаються вашими критичні точки.

Примітка: Не всі критичні точки макс. / Хв., Але всі макс. / Хв. Є критичними точками

Отже, знайдемо їх для своєї функції:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Це не впливає, тому давайте спробуємо квадратичну формулу:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… і ми можемо зупинитися прямо там. Як бачите, ми маємо негативне число під квадратним коренем. Отже, є немає реальних критичних моментів для цієї функції.

-

Точки перегину

Тепер давайте знайдемо точки перегину. Це точки, де графік має зміну увігнутості (або кривизни). Для точки (назвіть її # c #) бути точкою перегину, вона повинна задовольняти наступним:

#f '' (c) = 0 #.

Примітка: Не всі такі точки є точками перегину, але всі точки перегину повинні задовольняти це.

Тож давайте знайдемо:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Тепер ми повинні перевірити, чи це насправді точка перегину. Тому нам потрібно буде перевірити це #f '' (x) # фактично перемикає знак на #x = -2 / 3 #.

Отже, давайте перевіримо значення праворуч і ліворуч від #x = -2 / 3 #:

Праворуч:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Ліворуч:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6

Нам не дуже цікаво, що таке реальні цінності, але, як ми можемо чітко бачити, праворуч є позитивне число #x = -2 / 3 #і від'ємне число ліворуч від #x = -2 / 3 #. Отже, це дійсно точка перегину.

Узагальнити, #f (x) # не має критичних точок (або хв або максимумів), але має точку перегину в #x = -2 / 3 #.

Давайте поглянемо на графік #f (x) # і подивіться, що означають ці результати:

графік {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Цей графік зростає повсюдно, тому він не має місця, де б похідна = 0. Однак, вона йде від вигнутого вниз (увігнутого вниз) до вигнутого (увігнутого) #x = -2 / 3 #.

Сподіваюся, що допомогла:)