Що таке абсолютні екстремуми функції: 2x / (x ^ 2 +1) на закритому інтервалі [-2,2]?

Абсолютні екстремуми функції в закритому інтервалі # a, b # можуть бути або локальні екстремуми в цьому інтервалі, або точки, у яких знаходяться ациси #a або b #.

Отже, знайдемо місцеві екстремуми:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

якщо

# -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Тому наша функція знижується #-2,-1)# і в #(1,2# і вона зростає #(-1,1)#і так точку #A (-1-1) # є локальним мінімумом і точкою #B (1,1) # локальний максимум.

Тепер знайдемо ординату точок на екстремумах інтервалу:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Отже кандидатів є:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

і легко зрозуміти, що абсолютні екстремуми є # A # і # B #, як ти бачиш:

графік {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}