Як ви знайдете абсолютні мінімальні та абсолютні мінімальні значення f на заданому інтервалі: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) на [-1, 5]?

Відповідь:

Reqd. крайніми значеннями є # -25 / 2 та 25/2 #.

Пояснення:

Ми використовуємо заміну # t = 5sinx, t у -1,5 #.

Зауважте, що ця заміна допустима, оскільки

# t in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, що добре, як діапазон # sin # весело. є #-1,1#.

Тепер, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

З, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Отже, reqd. кінцівки # -25 / 2 та 25/2 #.

Відповідь:

Знайдіть монотонність функції від знака похідної і вирішіть, який локальний максимум / мінімум є найбільшим, найменшим.

Абсолютний максимум:

#f (3.536) = 12.5 #

Абсолютний мінімум:

#f (-1) = - 4,899 #

Пояснення:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Похідна функції:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Чисельник має два рішення:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Тому чисельник:

  Негативний для #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Позитивний для #t in (-3.536,3.536) #

• Знаменник завжди позитивний # RR #, оскільки це квадратний корінь.

  Нарешті, заданий діапазон #-1,5#

Отже, похідною функції є:

- Негативний для #t in -1,3,536) #

- Позитивний для #t in (3.536,5) #

Це означає, що графік по-перше піднімається з #f (-1) # до #f (3.536) # а потім йде вниз #f (5) #. Це робить #f (3.536) # абсолютний максимум і найбільше значення #f (-1) # і #f (5) # є абсолютним мінімумом.

Абсолютний максимум є #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Для абсолютного максимуму:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Тому, #f (-1) = - 4,899 # є абсолютним мінімумом.

З графіка нижче ви можете побачити, що це правда. Просто ігноруйте область зліва від #-1# оскільки він вийшов із домену:

граф {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}