Яке середнє значення функції f (x) = cos (x / 2) на інтервалі [-4,0]?

Відповідь:

# 1 / 2sin (2) #, приблизно #0.4546487#

Пояснення:

Середнє значення # c # функції # f # на інтервалі # a, b # дає:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Тут це означає середнє значення:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Давайте скористаємося заміною # u = x / 2 #. Це означає, що # du = 1 / 2dx #. Потім ми можемо переписати інтеграл як такий:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Розщеплення #1/4# в #1/2*1/2# дозволяє # 1 / 2dx # бути присутнім в інтегралі, щоб ми могли легко зробити заміну # 1 / 2dx = du #. Ми також повинні змінити межі на межі # u #, не # x #. Для цього візьмемо струм # x # обмежує і підключає їх # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0коз (u) du #

Це єдиний інтеграл (зверніть увагу на це # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Оцінка:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2sin (-2) #

Зверніть увагу на це #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1 / 2sin (2) #

#c approx0.4546487 #