Що таке довжина дуги r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) на олово [1, ln2]?

Відповідь:

Довжина дуги #~~ 2.42533 # (5dp)

Довжина дуги негативна через нижню межу #1# будучи більше верхньої межі # ln2 #

Пояснення:

Ми маємо параметричну векторну функцію, задану:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Для обчислення довжини дуги буде потрібно векторне похідне, яке ми можемо обчислити, використовуючи правило продукту:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Потім обчислюємо величину похідного вектора:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 т) ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Тоді ми можемо обчислити довжину дуги за допомогою:

# L = int_ (1) ^ (ln2) t bb ul r '(t) | dt #

# int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4)

Малоймовірно, що ми можемо обчислити цей інтеграл за допомогою аналітичної техніки, тому замість використання чисельних методів отримаємо апроксимацію:

# L ~~ 2.42533 t (5dp)

Довжина дуги негативна через нижню межу #1# будучи більше верхньої межі # ln2 #