Яка довжина дуги r (t) = (t, t, t) на олово [1,2]?

Відповідь:

#sqrt (3) #

Пояснення:

Ми шукаємо довжину дуги векторної функції:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # для #t in 1,2 #

Що ми можемо легко оцінити, використовуючи:

# L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || dt #

Тому ми обчислюємо похідну, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Таким чином, ми отримуємо довжину дуги:

# L = int_1 ^ 2 << 1,1,1 >> || dt #

# int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# sqrt (3) (2-1) #

# sqrt (3) #

Цей тривіальний результат не є несподіванкою, оскільки дане початкове рівняння є прямим.