Що таке похідна f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Метод 1:

Ми почнемо з використання правила зміни бази для перезапису #f (x) # еквівалентно тому, як:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Ми знаємо це # d / dx ln x = 1 / x #.

(якщо ця особа виглядає незнайомою, перевірте деякі відео на цій сторінці для подальшого пояснення)

Отже, ми застосуємо правило ланцюга:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Похідна Росії #ln x / 6 # буде # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Спрощення дає нам:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Спосіб 2:

Перше, що слід зазначити, це тільки # d / dx ln (x) = 1 / x # де #ln = log_e #. Іншими словами, тільки якщо база є # e #.

Тому ми повинні перетворити # log_6 # до виразу, що має тільки #log_e = ln #. Це ми робимо, використовуючи цей факт

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # коли # n = e #

Тепер, нехай #z = (ln x / ln 6) # так що #f (x) = z ^ 2 #

Тому, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #