Що таке похідна i? + Приклад

Можна лікувати # i # як будь-яка константа # C #. Отже, похідна Росії # i # міг би бути #0#.

Однак, коли йдеться про комплексні числа, ми повинні бути обережні з тим, що можна сказати про функції, похідні та інтеграли.

Візьміть функцію #f (z) #, де # z # це комплексне число (тобто # f # має складний домен). Потім похідна Росії # f # визначається подібно до реального випадку:

# f ^ prime (z) = lim_ (h до 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #

де # h # тепер складне число. Бачачи, як про комплексні числа можна думати про те, що лежить в площині, називається комплексною площиною, ми маємо, що результат цього обмеження залежить від того, як ми вирішили зробити # h # йти до #0# (тобто, з якого шляху ми вирішили це зробити).

У випадку постійної # C #, легко побачити, що це похідна #0# (доказ аналогічний реальному випадку).

Як приклад візьмемо # f # бути #f (z) = bar (z) #, це, # f # приймає комплексне число # z # в її кон'югат #bar (z) #.

Потім, похідна від # f # є

# f ^ prime (z) = lim_ (h до 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h до 0) (бар (z + h) -бар (z)) / (h) = lim_ (h до 0) (бар (h) + бар (z) -бар (z)) / (h) = lim_ (h до 0) (бар (h)) / (h) #

Розглянемо створення # h # йти до #0# використовуючи тільки реальні числа. Оскільки комплексне спряження дійсного числа є самим собою, ми маємо:

# f ^ prime (z) = lim_ (h до 0) (бар (h)) / (h) = = lim_ (h до 0) h / h = = lim_ (h до 0) 1 = 1 #

Тепер зробіть # h # йти до #0# використовуючи тільки чисті уявні числа (номери форми) # ai #). Так як спряжений чистий уявний номер # w # є # -w #, ми маємо:

# f ^ prime (z) = lim_ (h до 0) (бар (h)) / (h) = = lim_ (h до 0) -h / h = = lim_ (h до 0) -1 = -1

І таким чином #f (z) = bar (z) # не має похідної.