Що таке похідна від f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Процес:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Спочатку ми перепишемо рівняння у формі, з якою легше працювати.

Візьміть косеканта з обох сторін:

2.) #csc y = x #

Переписати в термінах sine:

3.) # 1 / siny = x #

Вирішіть на # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Тепер прийом похідної повинен бути простішим. Тепер це лише питання правила ланцюга.

Ми знаємо це # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - альфа ^ 2) # (тут є доказ цього ідентифікатора)

Отже, візьмемо похідну зовнішньої функції, потім помножимо на похідну від # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Похідна Росії # 1 / x # є таким же, як похідна від #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Спрощення 8. дає нам:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Щоб зробити заяву трохи кращою, ми можемо вивести квадрат # x ^ 2 # всередині радикала, хоча це не є необхідним:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Спрощення виходу:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

І є наша відповідь. Пам'ятайте, що проблеми з деривативами, що включають зворотні тригерні функції, є в основному вправою у вашому знанні ідентичностей тригерів. Використовуйте їх, щоб розбити функцію у формі, яку легко розрізняти.