Як розрахувати це? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Приклад

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

На жаль, функція всередині інтеграла не буде інтегруватися в те, що не може бути виражено через елементарні функції. Для цього потрібно використовувати чисельні методи.

Я можу показати вам, як використовувати розширення серії, щоб отримати приблизна вартість.

Почніть з геометричної серії:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) для # rlt1 #

Тепер інтегруємося по відношенню до # r # і використання лімітів #0# і # x # отримати це:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Інтеграція лівої сторони:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Тепер об'єднайте праву частину, інтегруючи термін за терміном:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Отже, випливає, що:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Тепер поділіть на # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -…

Отже, ми маємо вираз для ряду потужностей для функції, з якої ми спочатку почали. Нарешті, ми можемо знову інтегруватися, щоб отримати:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Інтеграція терміна "правою рукою" по терміну дає нам:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Оцінка лімітів на чотири терміни дасть нам приблизне значення:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Тепер це лише чотири терміни. Якщо ви хочете більш точне число просто використовуйте більше термінів у серії. Наприклад, перехід до 100-го терміну:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Якщо ви працюєте з таким самим процесом, але використовуєте позначення підсумовування (тобто з великою сигмою, а не виписуючи умови серії), ви побачите, що:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

яка є просто функцією Рімана-Зети 2, тобто:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -зета (2) #

Ми фактично вже знаємо, наскільки це важливо: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Тому точне значення інтеграла можна вивести так:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #