Як використовувати інтегральний тест для визначення збіжності або розбіжності ряду: сума n e ^ -n від n = 1 до нескінченності?

Відповідь:

Візьмемо інтеграл # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, яка є кінцевою, і зауважимо, що вона обмежена #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Тому вона сходяться, так #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # є також.

Пояснення:

Формальне твердження інтегрального тесту говорить, що якщо #fin 0, oo) rightarrowRR # монотонна функція зменшення, яка не є негативною. Тоді сума #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # є конвергентним, якщо і тільки якщо # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # є кінцевим. (Tau, Terence. Аналіз I, друге видання. Hindustan book agency. 2009).

Це твердження може здатися трохи технічним, але ідея полягає в наступному. Приймаючи в цьому випадку функцію #f (x) = xe ^ (- x) #, відзначимо, що для #x> 1 #ця функція зменшується. Ми бачимо це, приймаючи похідну. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, з #x> 1 #, тому # (1-x) <0 # і #e ^ (- x)> 0 #.

Завдяки цьому відзначимо, що для будь-якого #ninNN _ (> = 2) # і #x у 1, oo # такий, що #x <= n # ми маємо #f (x)> = f (n) #. Тому #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, тому #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + сума_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # використання інтеграції по частинах і тому #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

З #f (x)> = 0 #, ми маємо # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, тому #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. З #f (n)> = 0 #, серія #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # збільшується як # N # збільшується. Оскільки вона обмежена # 3 / e #, вона повинна сходитися. Тому #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # сходиться.

Використовуючи визначення збіжності, як довести, що послідовність {5+ (1 / n)} збігається з n = 1 до нескінченності?

Нехай: a_n = 5 + 1 / n, тоді для будь-якого m, n в NN з n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) при n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n і як 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Враховуючи будь-яке дійсне число epsilon> 0, вибираємо потім ціле число N> 1 / епсилон. Для будь-яких цілих чисел m, n> N ми маємо: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, що доводить умову Коші для збіжності послідовності.

Використовуючи визначення збіжності, як довести, що послідовність {2 ^ -n} збігається з n = 1 до нескінченності?

Використовуйте властивості експоненційної функції для визначення N, таких як | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon для кожного m, n> N Визначення збіжності говорить, що {a_n} збігається, якщо: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Отже, з урахуванням epsilon> 0 приймаємо N> log_2 (1 / епсилон) і m, n> N з m <n Як m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Тепер як 2 ^ x завжди позитивна, (1- 2 ^ (mn)) <1, тому 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) А як 2 ^ (- x) сувор

Який інструмент використовує астроном для визначення спектру зірки? Чому краще використовувати цей прилад, аніж використовувати телескоп для перегляду спектру?

Телескоп і спектроскоп мають різні функції. Щоб зібрати більше світла від слабких зірок, нам потрібен телескоп з великою апертурою. Спектроскоп потім розбиває світло на різні спектральні лінії. На малюнку показаний комбінований телескоп і спектроскоп, що використовуються в JPL-зонді Dwan. picrture JPL nasa /