Використовуючи визначення збіжності, як довести, що послідовність {2 ^ -n} збігається з n = 1 до нескінченності?

Відповідь:

Використовуйте властивості експоненційної функції для визначення N таких як # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # для кожного # m, n> N #

Пояснення:

Визначення збіжності говорить про те, що # {a_n} # сходиться, якщо:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Отже, дано #epsilon> 0 # брати #N> log_2 (1 / епсилон) # і # m, n> N # с #m <n #

Як #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # тому # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Тепер як # 2 ^ x # завжди позитивний, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, тому

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

І як # 2 ^ (- x) # строго зменшується і #m> N> log_2 (1 / епсилон) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Але:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Тому:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.