Як ви знайдете формулу MacLaurin для f (x) = sinhx і використовувати його, щоб наблизити f (1/2) в межах 0,01?

Відповідь:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Пояснення:

Ми знаємо визначення для #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Оскільки ми знаємо серію Маклорена для Росії # e ^ x #, ми можемо використовувати його для побудови одного для #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Ми можемо знайти серію для # e ^ -x # шляхом заміни # x # с # -x #:

# e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Ми можемо відняти ці два один від одного, щоб знайти чисельник # sinh # визначення:

# color (білий) (- e ^ -x.) e ^ x = колір (білий) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

# color (білий) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!)) … #

# e ^ xe ^ -x = колір (білий) (lllllllll) 2xколір (білий) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) колір (білий) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!)) … #

Ми бачимо, що всі чіткі умови скасовуються і всі непарні терміни подвоюються. Ми можемо представляти цю модель так:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Для завершення #sinh (x) # серії, нам просто потрібно розділити це на #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo скасувати2 / (скасувати2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Тепер ми хочемо розрахувати #f (1 t з точністю принаймні #0.01#. Ми знаємо цю загальну форму помилки Лагранжа, що зв'язана для многочлена тейлора n-го ступеня близько # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # де # M # це верхня межа на n-й похідній на інтервалі від # c # до # x #.

У нашому випадку розширення є серією Маклорена, так # c = 0 # і # x = 1:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Похідні вищого порядку #sinh (x) # або буде #sinh (x) # або #cosh (x) #. Якщо розглядати визначення для них, ми бачимо це #cosh (x) # завжди буде більше, ніж #sinh (x) #, так що ми повинні розробити # M #-пов'язаний для #cosh (x) #

Функція гіперболічного косинуса завжди збільшується, тому найбільше значення на інтервалі буде при #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Тепер ми включимо це в похибку помилки Лагранжа:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Ми хочемо # | R_n (x) | # бути меншим ніж #0.01#, тому ми намагаємося # n # значення до тих пір, поки не дістанемося до цієї точки (чим менше кількість термінів у поліномі, тим краще). Ми знаходимо це # n = 3 # є першим значенням, яке дасть нам зв'язану помилку менше #0.01#, тому нам потрібно використовувати поліном 3-го ступеня Тейлора.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #