Які абсолютні екстремуми f (x) = x / (x ^ 2 + 25) на інтервалі [0,9]?

Відповідь:

абсолютний максимум: #(5, 1/10)#

абсолютний мінімум: #(0, 0)#

Пояснення:

Дано: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "на інтервалі" 0, 9 #

Абсолютні екстремуми можна знайти, оцінивши кінцеві точки і знайти будь-які відносні максимуми або мінімуми і порівнявши їх # y #-значення.

Оцініть кінцеві точки:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Знайдіть відносний мінімум або максимум за допомогою налаштування #f '(x) = 0 #.

Використовуйте правило частки: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Дозволяє #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

З # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, потрібно лише встановити чисельник = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

критичні значення: # x = + - 5 #

Оскільки наш інтервал є #0, 9#, ми тільки повинні подивитися #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Використовуючи перший тест з похідними, встановіть інтервали, щоб дізнатися, чи є ця точка відносним максимумом або відносним мінімумом

інтервали: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

тестові значення: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Це означає в #f (5) # ми маємо відносний максимум. Це стає абсолютним максимумом в інтервалі #0, 9#, з тих пір # y #-значення точки #(5, 1/10) = (5, 0.1)# є найвищим # y #-значення в інтервалі.

** Абсолютний мінімум відбувається на найнижчому рівні # y #-значення в кінцевій точці #(0,0)**.#

Які абсолютні екстремуми f (x) = sin (x) - cos (x) на інтервалі [-pi, pi]?

Які абсолютні екстремуми f (x) = sin (x) + ln (x) на інтервалі (0, 9)?

Немає максимуму. Мінімум 0. Не максимум As xrarr0, sinxrarr0 і lnxrarr-oo, так lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Так що максимуму немає. Немає мінімуму Нехай g (x) = sinx + lnx і зауважте, що g є безперервним на [a, b] для будь-якого позитивного a та b. g (1) = sin1> 0 "" і "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g є безперервним на [e ^ -2,1], що є підмножиною За теоремою проміжного значення g має нуль в [e ^ -2,1], що є підмножиною (0,9), таке ж число - нуль для f (x) = abs (0,9). sinx + lnx) (який повинен бути неотрицательным для всіх x у домені.)

Які абсолютні екстремуми f (x) = x ^ (2) + 2 / x на інтервалі [1,4]?

Потрібно знайти критичні значення f (x) в інтервалі [1,4]. Отже, обчислюємо коріння першої похідної, тому маємо (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 So f ( 2) = 5 Також знайдемо значення f в кінцевих точках, отже f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Найбільша величина функції при x = 4, отже f (4) ) = 16.5 - абсолютний максимум для f в [1,4] Найменше значення функції при x = 1, отже f (1) = 3 - абсолютний мінімум для f в [1,4] Графік f в [1] , 4] є