Ми маємо:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Крок 2 - Визначте критичні точки
Критична точка виникає при одночасному рішенні
# f_x = f_y = 0 iff (часткова f) / (часткова x) = (часткова f) / (часткова y) = 0 #
тобто, коли:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)), = 0, … B):}} # одночасно
З яких ми можемо встановити:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Тому ми вимагаємо, щоб:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Тоді ми маємо два (нескінченні площини) рішення:
#:. x = + - y #
І тому ми робимо висновок, що існують нескінченно багато критичних точок по всій довжині перетину кривої і двох площин.
Крок 3 - Класифікуйте критичні точки
Для класифікації критичних точок ми виконуємо тест, подібний до тестової однієї змінної з використанням другого часткового похідного і матриці Гессе.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((часткова ^ 2 f) / (часткова x ^ 2), (часткова ^ 2 f) / (часткова x часткова y)), ((часткова ^ 2 f) / (часткова y часткова x), (часткова ^ 2 f) / (часткова y ^ 2)) | #
= f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Тоді залежно від значення
# {: (Delta> 0, "Максимум якщо" f_ (xx) <0), (, "і мінімум, якщо" f_ (xx)> 0), (Дельта <0, "є сідловий пункт")), (Delta = 0, "Необхідний подальший аналіз"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
= e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Потрібно розглянути знак Росії
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Отже, залежно від знака
Ось сюжет функції
А ось сюжет функції, включаючи літаки
