Які абсолютні екстремуми f (x) = x - e ^ x в [1, ln8]?

Відповідь:

Існує абсолютний максимум #-1.718# в # x = 1 # і абсолютний мінімум #-5.921# в # x = ln8 #.

Пояснення:

Щоб визначити абсолютні екстремуми на інтервалі необхідно знайти критичні значення функції, що лежать в межах інтервалу. Потім необхідно перевірити як кінцеві точки інтервалу, так і критичні значення. Це місця, де можуть виникати критичні значення.

Пошук критичних значень:

Критичні значення #f (x) # відбуваються кожного разу #f '(x) = 0 #. Таким чином, ми повинні знайти похідну від #f (x) #.

Якщо:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Потім: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Отже, критичні значення відбуватимуться, коли: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Це означає, що:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Тому:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 = 0 #

Єдиним критичним значенням функції є функція # x = 0 #, який ні на заданому інтервалі # 1, ln8 #. Таким чином, єдиними значеннями, при яких можуть відбуватися абсолютні екстремуми, є # x = 1 # і # x = ln8 #.

Тестування можливих значень:

Просто знайдіть #f (1) # і #f (ln8) #. Чим менший абсолютний мінімум функції, тим більший абсолютний максимум.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

Таким чином, існує абсолютний максимум #-1.718# в # x = 1 # і абсолютний мінімум #-5.921# в # x = ln8 #.

Graphed - це початкова функція на заданому інтервалі:

графік {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Оскільки критичних значень немає, функція залишатиметься зменшуватися протягом усього інтервалу. З # x = 1 # є початком постійно зменшується інтервалу, він буде мати найвищу цінність. До такої ж логіки відноситься # x = ln8 #, оскільки це найвіддаленіший інтервал і буде найнижчим.

Які абсолютні екстремуми f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 в [0,3]?

На [0,3] максимум дорівнює 19 (при х = 3), а мінімум -1 (при х = 1). Для знаходження абсолютних екстремумів (безперервної) функції на замкнутому інтервалі ми знаємо, що екстремуми повинні відбуватися в будь-яких критичних числах в інтервалі або в кінцях інтервалу. f (x) = x ^ 3-3x + 1 має похідну f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 ніколи не визначено і 3x ^ 2-3 = 0 при x = + - 1. Оскільки -1 не знаходиться в інтервалі [0,3], ми його відкидаємо. Єдиним критичним числом для розгляду є 1. f (0) = 1 f (1) = -1 і f (3) = 19. Отже, максимум 19 (при x = 3) і мінімум -1 ( x = 1).

Які абсолютні екстремуми f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) в [1,4]?

Глобальних максимумів немає. Глобальний мінімум дорівнює -3 і відбувається при x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, де x f 1 f '(x) = 2x - 6 Абсолютні екстремуми відбуваються на кінцевій точці або на критичне число. Кінцеві точки: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Критична точка (и): f '(x) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 При x = 3 f (3) = -3 Немає глобальних максимумів. Не існує глобальних мінімумів -3 і відбувається при x = 3.

Які абсолютні екстремуми f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) в [oo, oo]?

X = 0 - максимум функції. f (x) = 1 / (1 + x²) Пошук f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Таким чином, ми бачимо, що існує унікальне рішення, f ' (0) = 0 А також, що це рішення є максимумом функції, оскільки lim_ (x до ± oo) f (x) = 0, а f (0) = 1 0 / ось наша відповідь!