Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Відповідь:

Є місцевий мінімум #0# в #1#. (Що також є глобальним.) І локальним максимумом # 4 / e ^ 2 # в # e ^ 2 #.

Пояснення:

Для #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, відзначимо спочатку, що домен # f # - це позитивні реальні числа, # (0, oo) #.

Тоді знайдіть

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# не визначено в # x = 0 # що не входить в область # f #, так що це не критичне число для # f #.

#f '(x) = 0 # де

# lnx = 0 # # # або # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # або # # # x = e ^ 2 #

Випробування інтервалів #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, і # (e ^ 2, oo) #.

(Для тестових номерів, я пропоную # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - нагадаємо # 1 = e ^ 0 # і # e ^ x # збільшується.)

Ми знаходимо це # f '# переходить від негативного до позитивного #1#, тому #f (1) = 0 # є місцевим мінімумом,

і що # f '# при переході від позитивного до негативного # e ^ 2 #, тому #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # локальний максимум.