Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = xy (1-x-y)?

Відповідь:

Точки #(0,0),(1,0)#, і #(0,1)# є пункти сідла. Точка #(1/3,1/3)# - локальна максимальна точка.

Пояснення:

Ми можемо розширюватися # f # до #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Далі знаходимо часткові похідні і задаємо їх рівними нулю.

# frac {часткова f} {часткова x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac {часткова f} {часткова y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Ясно, # (x, y) = (0,0), (1,0), # і #(0,1)# є рішеннями цієї системи, і тому є критичні точки # f #. Інше рішення можна знайти в системі # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Вирішення першого рівняння для # y # з точки зору # x # дає # y = 1-2x #, які можна підключити до другого рівняння, щоб отримати # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Від цього, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # так само.

Щоб перевірити природу цих критичних точок, знаходимо другі похідні:

# frac {часткова ^ {2} f} {часткова x ^ {2}} = - 2y #, # frac {часткова ^ {2} f} {часткова y ^ {2}} = - 2x #, і # frac {часткова ^ {2} f} {часткова x часткова y} = frac {часткова ^ {2} f} {часткова y часткова x} = 1-2x-2y #.

Отже, дискримінант:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Підключення перших трьох критичних точок дає:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, і #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, що робить ці точки сідловими.

Дає підключення до останньої критичної точки #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Також зверніть увагу, що # frac {часткова ^ {2} f} {часткова x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Тому, #(1/3,1/3)# - розташування місцевого максимального значення # f #. Можна перевірити, що саме локальне максимальне значення #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Нижче наведено зображення контурної карти (кривих рівня) # f # (криві, де виводиться # f # є постійною), разом з 4 критичними точками # f #.