Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Відповідь:

Сідловий пункт на початку.

Пояснення:

Ми маємо:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2 x

Отже, ми отримуємо часткові похідні. Пам'ятайте, коли частково диференціюємо, що ми диференціюємо цю змінну, розглядаючи інші змінні як константи. І так:

# (часткова f) / (часткова x) = 2xy-y ^ 2 t і (часткова f) / (часткова y) = x ^ 2-2yx #

У екстремумах або сідлових точках ми маємо:

# (часткова f) / (часткова x) = 0 t і # (часткова f) / (часткова y) = 0 t одночасно:

одночасне рішення:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Звідси виникає лише одна критична точка походження #(0,0)#. Для встановлення природи критичної точки необхідні аналітики багатоваріантної серії Тейлора і наступні результати випробувань:

# Delta = (часткова ^ 2 f) / (часткова x ^ 2) (часткова ^ 2 f) / (часткова y ^ 2) - {(часткова ^ 2 f) / (часткова x часткова y)} ^ 2 <0 => # сідловий пункт

Отже, обчислюємо другі часткові похідні:

# (частковий ^ 2f) / (частковий x ^ 2) = 2y t;# (часткова ^ 2f) / (часткова y ^ 2) = -2x t і (частковий ^ 2 f) / (частковий x частковий y) = 2x-2y #

І так, коли # x = 0, y = 0 # ми отримуємо:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Це означає, що стандартний тест на сідло є інклюзивним і необхідний подальший аналіз. (Як правило, це передбачає перегляд ознак функції через різні фрагменти, або перегляд третього часткового похідного тесту, який виходить за рамки цього питання!).

Ми також можемо подивитися на 3D-сюжет і зробити короткий висновок, що критична точка відповідає сідловій точці: