Які локальні екстремуми, якщо такі є, f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Відповідь:

Єдиним екстремумом є # x = 0.90322 … #, функція мінімум

Але ви повинні вирішити кубічні рівняння, щоб отримати там, і відповідь зовсім не "приємно" - ви впевнені, що питання правильно набрано? Я також включив пропозиції про те, як підійти до відповіді, не вдаючись до обсягу аналізу, показаного повністю нижче.

Пояснення:

1. Стандартний підхід вказує на нас у трудомісткому напрямку

Спочатку обчислити похідну:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

так (за правилами ланцюга і фактора)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Потім встановіть це рівним 0 і вирішіть для # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Ми маємо кубічне рівняння, яке вирішується радикалами, але це далекий від легкого процесу. Ми знаємо, що це рівняння взагалі матиме три коріння, але не те, що всі вони будуть реальними, хоча принаймні одна з них буде - що принаймні одна буде відома з Теореми проміжного значення - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - що говорить нам, що оскільки функція переходить до нескінченності на одному кінці і мінус нескінченності на іншому, то вона повинна приймати всі значення між ними в тій чи іншій точці.

Випробовуючи кілька простих значень (1 часто є інформативним і швидким, щоб спробувати), ми бачимо, що існує корінь десь між 1/2 і 1, але ми не знаходимо явних рішень для спрощення рівняння. Вирішення кубічного рівняння є довгим і виснажливим процесом (який ми зробимо нижче), тому варто спробувати інформувати інтуїцію перед тим, як це зробити. Випробовуючи рішення далі, виявимо, що він знаходиться між 0,9 і 0,91.

2. Вирішити спрощену проблему

Функція складається з різниці двох термінів, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # і # f_2 (x) = (x-4) / x #. Для більшої частини діапазону # x #, перший з них буде домінувати надзвичайно, оскільки другий член буде близький до 1 для всіх значень # x # від малих значень. Запитаємо, як поводяться два індивідуальні терміни.

Перший термін, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Встановіть це рівним нулю: # x = 3/4 #. Це знаходиться в області нуля функції, яку ми знайшли, але вона не дуже близька до неї.

#f (1) # є параболою в # x #, котрий торкається # x # осі на # x = 3/4 #. Її похідною є крута пряма градієнта 32, яка перетинає вісь x в тій же точці.

Другий термін, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Встановіть це рівним нулю: у ньому немає рішень # x #. Тому # f_2 # не має екстремумів як функцію самостійно. Однак вона має точку, в якій вона вибухає до нескінченності: # x = 0 #. Вона йде до позитивної нескінченності, коли вона наближається до 0 з негативної сторони, і до негативної нескінченності, коли вона наближається до 0 з позитивної сторони. Далеко від цієї точки крива має тенденцію до значення 1 з обох сторін. # f_2 # являє собою гіперболу з центром # (x, y) = (0,1) #. Його похідною є крива в двох частинах, для негативних і позитивних # x #. Він переходить до позитивної нескінченності в обох напрямках # x = 0 # і завжди позитивний.

Зверніть увагу на це # f_1 ^ '(x) <0 # за всіх #x <0 #. Ніяких перетинів не може бути # f_1 ^ '# і # f_2 ^ '# на негатив # x # осі. Над позитивним # x # осі повинна бути рівно один перетин - одна крива йде від менше 0 до нескінченності як # x # робить те ж саме, в той час як інший йде від нескінченності до 0. За допомогою теореми проміжного значення (див. вище) вони повинні перетинати рівно один раз.

Тому зараз ми впевнені, що шукаємо тільки одне рішення, але не маємо хорошої відповіді на це.

3. Числово наближена відповідь

У професійних ситуаціях, що вимагають вирішення таких проблем, найчастіше найшвидшим способом дістатися до місця, де потрібно отримати, є виконання чисельного наближення. Досить хорошим для пошуку коренів функції є метод Ньютона-Рафсона (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Який є: знайти корінь функції # f #Спочатку зробіть припущення # x_0 # у корені, а потім перебирати круглі та округлі згідно з цією формулою:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # краще здогадуватися, ніж # x_0 #, і один просто повторює це, поки не буде досягнута бажана точність.

Нагадаємо нашу функцію та її похідну:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Отже, ми можемо припустити, що 0.5 є нашим коренем # x_0 = 0,5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Таким чином # f_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 …. #, дійсно більш тісна відповідь. Повторення підводить нас до значення приблизно 0.9, згаданого вище.

Отже, ми можемо знайти відповідь з довільною точністю, але повна відповідь потребує аналітичного рішення, що було б важко. Отже, ми йдемо …

4. Вирішити повну проблему, повільно і болісно

Тепер давайте зробимо повне кубічне рішення (вам доведеться любити алгебру, щоб правильно вирішити цю проблему):

По-перше, розділити на, щоб зробити провідний термін коефіцієнтом 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

По-друге, виконайте наступну заміну на змінну # y #, щоб видалити # x ^ 2 # термін:

Замінити # x = y + 1/4 #. Взагалі, для рівняння форми # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #можна було б замінити # x = y-b / (3a) #. Якщо ви працюєте через алгебру, ви побачите, що це завжди викликає # x ^ 2 # термін зникне. У цьому випадку ми отримуємо:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Розгорніть дужки, пам'ятаючи Біноміальну теорему:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(Зверніть увагу, що два # y ^ 2 # терміни повністю скасовуються)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Тепер ми маємо стільки ж термінів, що й раніше, тому що ми раніше не мали # y # термін. Втрата # y ^ 2 # Термін - математичний прибуток, обіцяйте!

По-третє, зробіть ще одну заміну (підміна Вієти: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html), щоб перетворити її на квадратичну:

Замінити # y = w + 1 / (16w) #. Взагалі, для рівняння форми # y ^ 3 + py = q #це заміщення # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Зверніть увагу, що обидва # w # і # 1 / w # терміни скасовуються точно)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Тепер, можливо, ви запитаєте, що на користь це - ми розібралися з рівнянням 3-го ступеня, поки не отримаємо рівняння 6-го ступеня, безумовно, втрати … Але тепер ми можемо думати про це як про квадратичне рівняння. в # w ^ 3 #, і ми можемо вирішувати квадратичні рівняння …)

По-четверте, вирішити квадратичне рівняння для # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Використовуючи квадратичне рівняння:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + 2sqrt (6)) / 64 #

У нас є відповідь! Тепер ми просто повинні зв'язати його назад до нашої початкової змінної # x #.

По-п'яте, поверніть назад до наших початкових умов

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Візьміть корінь куба:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Нагадаємо, як ми пов'язані # y # до # w # раніше: # y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Тепер # 1 / (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + 2sqrt (6)) (- 5 + 2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Сократ, здається, не пропонує мінус-плюс протилежність плюс-мінус, тому ми повинні написати це так)

Таким чином

#y = (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Якщо ми помножимо знаки мінус у другому великому терміні, то побачимо, що ми отримуємо два однакових вирази, так що ми можемо відкинути квадратичні знаки плюс / мінус і спростити до

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Нарешті (!) Нагадаємо, що ми поставили # x = y + 1/4 #.

Таким чином

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

По-шосте, вивести, скільки цих коренів є реальними

Кожен з двох виразів у коренях куба має один реальний корінь і два сполучених уявних кореня. Реальне число # a # має три кубічні корені # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Тепер ми знаємо, що обидва вирази всередині коренів куба є позитивними (помітьте # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), і тому уявні компоненти у другому і третьому значеннях для # x # не може довести до нуля.

Висновок

Тому є лише один реальний корінь # x # (як ми зробили висновок набагато більш простим аналізом), і, отже, лише одну локальну крайність на кривій, про яку ви питаєте, дана виразом

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

або, у десятковому

# x = 0.90322 … #

Можна зробити висновок, що це мінімум функції через те, що існує тільки один екстремум і функція прагне до позитивної нескінченності на обох кінцях.