Що таке глобальні та локальні екстремуми f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Відповідь:

#f (x) # має абсолютний мінімум на #(-1. 0)#

#f (x) # має локальний максимум на # (- 3, 4e ^ -3) #

Пояснення:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Правило продукту

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Для абсолютних або локальних екстремумів: #f '(x) = 0 #

Ось де: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

З # e ^ x> 0 для всього x у RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 або -1

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Правило продукту

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Знову # e ^ x> 0 # ми повинні тільки перевірити знак # (x ^ 2 + 6x + 7) #

в наших точках екстремуму визначати, чи є точка максимумом або мінімумом.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # є мінімальним

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # є максимальним

Розглядаючи графік #f (x) # нижче ясно, що #f (-3) # є локальним максимумом і #f (-1) # є абсолютним мінімумом.

графік {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Нарешті, оцінюючи точки екстремуму:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

і

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #