Які екстремуми f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 на [-оо, oo]?

Відповідь:

#f (x) # має мінімум на # x = 2 #

Пояснення:

Перш ніж приступити, зверніть увагу, що це парабола, що стоїть вгору, тобто ми можемо знати без подальшого розрахунку, що вона не матиме максимумів і єдиного мінімуму на його вершині. Завершення площі покаже нам це #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, даючи вершину і, таким чином, єдиний мінімум, на #x = 2 #. Давайте подивимося, як це буде зроблено з обчисленням.

Будь-які екстремуми відбуватимуться або в критичній точці, або в кінцевій точці заданого інтервалу. Як наш заданий інтервал # (- oo, oo) # відкрита, ми можемо ігнорувати можливість кінцевих точок, тому спочатку визначимо критичні точки функції, тобто точку, в якій похідна функції є #0# або не існує.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Встановлення цього значення дорівнює #0#, ми знаходимо критичну точку в # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Тепер ми можемо або перевірити, чи є це екстремум (і який тип), перевіривши деякі значення # f # навколо цієї точки, або за допомогою другого тесту на похідні. Давайте скористаємося останнім.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Як #f '' (2) = 6> 0 #, другий тест похідних говорить нам про це #f (x) # має місцевий мінімум на # x = 2 #

Таким чином, використовують #f '(x) # і #f '' (x) #, ми знаходимо це #f (x) # має мінімум на # x = 2 #, що збігається з результатом, отриманим за допомогою алгебри.