Які екстремуми та сідлові точки f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Я не знайшов сідлових точок, але був мінімум:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Щоб знайти екстремуми, візьмемо часткову похідну по відношенню до # x # і # y # перевірити, чи можуть одночасно дорівнювати обидва похідні #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Якщо вони одночасно повинні дорівнювати #0#, вони утворюють a Система рівнянь:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Це лінійний Система рівнянь, коли вираховується відмінити # y #, дає:

# 3x - 1 = 0 => колір (зелений) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => колір (зелений) (y = -2/3) #

Оскільки рівняння були лінійними, існувала лише одна критична точка, а отже, тільки один екстремум. Друга похідна розповість, чи була вона максимальною або мінімальною.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Ці другі частки узгоджуються, тому графік увігнутий, уздовж # x # і # y # осей.

Значення #f (x, y) # в критичній точці (шляхом підключення до початкового рівняння):

#color (зелений) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = колір (зелений) (- 1/3) #

Таким чином, ми маємо a мінімум з #color (синій) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Тепер для крос-похідні для перевірки будь-яких сідлових точок, які можуть бути уздовж діагонального напрямку:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Оскільки вони одночасно і узгоджуються, замість того, щоб бути протилежними знаками, є немає сідла.

Ми бачимо, як цей графік виглядає лише для перевірки: