Які екстремуми і сідлові точки f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Відповідь:

Є один екстремум при #(3,3,27)#

Ми маємо:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Отже, ми отримуємо часткові похідні:

# (часткова f) / (часткова x) = y - 27 / x ^ 2 t і (часткова f) / (часткова y) = x - 27 / y ^ 2 #

У екстремумах або сідлових точках ми маємо:

# (часткова f) / (часткова x) = 0 t і # (часткова f) / (часткова y) = 0 t одночасно:

одночасне рішення:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Віднімання цих рівнянь дає:

x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Ми можемо ліквідувати # x = 0; y = 0 # і так # x = y # є єдиним правильним рішенням, яке призводить до:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

І з # x = y = 3 #, ми маємо:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Звідси випливає лише одна критична точка, що виникає при (3,3,27), що видно на цій ділянці (яка включає дотичну площину)